In pratica puppy linux si avvia sempre come utente root, mentre chromium per questioni di sicurezza non consente di navigare in internet come utente root.
Per aggirare questo problema dovresti modificare con l'editor di testo il file /etc/chromium-browser/default e cambiare la riga
CHROMIUM_FLAGS=""
in CHROMIUM_FLAGS="--user-data-dir"
e salvare il file.