Non so se ho capito bene, ma credo che il problema sia nel fatto che una parte dello spazio è non allocato, mentre invece avresti bisogno di aggiungere una seconda partizione sfruttando quello spazio, per poterlo poi utilizzare per salvare la sessione di puppy.
Facendo partire puppy linux troverai tra i programmi preinstallati Gparted, con il quale potrai vedere la situazione attule della chiavetta e aggiungere la seconda partizione che ti serve (direi sempre in fat32 trattandosi di chiavetta). Dopo aver creato la partizione dovrebbe apparire un secondo drive sul desktop (sdb2 probabilmente), il che significherà che potrai salvare la sessione lì sopra, quando ti verrà chiesto dal sistema, alla chiusura della sessione.